Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

，且点P（-2，0）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题意得

c

a

=

3

2

，a=2，再由b²=a²-c²可求得c，b；
（2）分情况讨论：①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），与椭圆方程联立方程组消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理即及

PA

•

PB

=0可得m，k的关系式，分别代入直线方程可求得定点坐标，②当直线l垂直于x轴时，直线AB：x=-

6

5

，检验即可；

解答：解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由题意得

c

a

=

3

2

，a=2，所以c=

3

，
又b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
由

x2+4y2=4 y=kx+m

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，

PA

•

PB

=(x^+2)(x2+2)+y1y2=(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+m2+4=(1+k2)

4(m2-1)

1+4k2

+(2+km)

-8km

1+4k2

+m2+4=0，
∴12k²+5m²-16km=0，即（6k-5m）（2k-m）=0，解得m=

6

5

k或m=2k，
当m=

6

5

k时，AB：y=kx+

6

5

k恒过定点(-

6

5

，0)；
当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（-2，0），不符合题意舍去；
②当直线l垂直于x轴时，直线AB：x=-

6

5

，则AB与椭圆C相交于A(-

6

5

，-

4

5

)，B(-

6

5

，

4

5

)，
∴

PA

•

PB

=(

4

5

，-

4

5

)•(

4

5

，

4

5

)=(

4

5

)2+(-

4

5

)(

4

5

)=0，∵PA⊥PB，满足题意，
综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为(-

6

5

，0)．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．