Question

2．已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0，若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程．

Answer 1

分析 求出圆心和半径，设直线方程，由圆心C到切线的距离等于半径，求出待定系数的值．

解答 解：（1）圆C：（x+1）²+（y-2）²=2
当直线截距相等且不为0时，设直线方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即x+y-a=0，
则$d=\frac{{|{-1+2-a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$解得a=3或a=-1，所以方程为：x+y-3=0或x+y+1=0….4
（2）当直线截距互为相反数且不为0时，设直线为：$\frac{x}{a}-\frac{y}{a}=1$同理可求得：a=-1或-5．
所以直线方程为：x-y+1=0或x-y+5=0…..8
（3）当直线截距为0时，过坐标原点，y轴不合题意．
设直线为y=kx$d=\frac{{|{-k-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$解得：$k=2±\sqrt{6}$，所以直线方程为：$y=（{2±\sqrt{6}}）x$
综上可知：直线方程为：x+y-3=0或x+y+1=0或x-y+1=0或x-y+5=0或$y=（{2±\sqrt{6}}）x$….12

点评 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想．注意分截距不等于0和截距等于0两种情况进行讨论，属于中档题．