Question

7．长为2$\sqrt{2}$线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，设线段中点为M，线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点P（0，1）直线l与轨迹C交于A、B两点．
①写出$\frac{{|{AP}|}}{{|{PB}|}}$的取值范围，可简要说明理由；
②坐标平面内是否存在异于点P的定点Q，当l转动时，总有$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$恒成立？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，转化为|OM|的距离，求解轨迹方程即可．
（2）①设直线l与轨迹C交于A、B两点，当直线的斜率不存在时，|AP|的最小值为：$\sqrt{2}-$1，最大值为：$\sqrt{2}+1$，|PB|的最小值为：$\sqrt{2}-$1，最大值为：$\sqrt{2}+1$，即可求出范围，
②分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，对任意直线l，均总有$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$恒成立，求出m的值．

解答 解：（1）长为2$\sqrt{2}$线段EF的两上端点E、F分别在坐标轴x轴、y轴上滑动，
设线段中点为M（x，y），可得|OM|=$\sqrt{2}$．
线段EF在滑动过程中，点M形成轨迹为C：x²+y²=2；
（2）①设直线l与轨迹C交于A、B两点，
当直线的斜率不存在时，|AP|的最小值为：$\sqrt{2}-$1，最大值为：$\sqrt{2}+1$，
|PB|的最小值为：$\sqrt{2}-$1，最大值为：$\sqrt{2}+1$，
可知$\frac{{|{AP}|}}{{|{PB}|}}$∈[$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$]，即：$\frac{{|{AP}|}}{{|{PB}|}}$∈[3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$]．
②当直线的斜率存在时设为k，过点P（0，1）直线l：y=kx+1，
A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
消去y并整理得：（1+k²）x²+2kx-1=0，
∵△=（4k）²+4（1+2k²）＞0，
∴x₁+x₂=$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-1}{1+{k}^{2}}$，
由|QA|•|PB|=|QB|•|PA|可得$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$，
知QP为∠AQP的角平分线，
由对称性易知，点Q必在y轴上，设Q（0，m），
于是有K_QA+K_QB=0，
∴$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}-0}$+$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}-m}$=0，
即（y₁-m）x₂+（y₂-m）x₁=0，且y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，
∴（kx₁+1-m）x₂+（kx₂+1-m）x₁=0，
∴2kx₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）=0，
∴2k•$\frac{-1}{1+{k}^{2}}$+$\frac{-2k}{1+{k}^{2}}$（1-m）=0，
∴$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$[-1-（1-m）]=0，对任意k∈R恒成立，
则-1-（1-m）=0，
解得m=2，
特别的，当直线l的斜率不存在时，此时A（0，$\sqrt{2}$），B（0，-$\sqrt{2}$），Q（0.2），P（0，1）
$\frac{|QA|}{|QB|}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，$\frac{|PA|}{|PB|}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$，
综上，平面上存在定点Q（0，2）时，当l转动时，总有$\frac{{|{QA}|}}{{|{QB}|}}=\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}$恒成立

点评 本题考查圆的标准方程与几何性质、直线方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，属于难题．