Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点P在线段BD₁上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为    ．

Answer 1

【答案】分析：连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，由tan∠APO=，知PO⊥BD₁时，∠APO最大，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．
解答：解：连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=，
∴当PO最小时，∠APO最大，
即PO⊥BD₁时，∠APO最大，
如图，作PE⊥BD于E，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，
∴BD=，BD₁=，
∵OP⊥BD₁，PE⊥BD，
∴△BDD₁∽△BPO∽△PEO，
∴，，
∴OP===，
PE===，
∴三棱锥P-ABC的体积V===．
故答案为：．
点评：本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题．解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．