Question

【题目】已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？若是请求出，若不是请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】

(1)根据条件，代入已知点，和a,b,c的关系式，解得参数值，进而得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆方程得到二次方程，由三角形的面积得到4k2＋3－2m2＝0，kOA·kOB=，根据韦达定理得到结果即可.

(1)由题意知解得

∴椭圆C的标准方程为＋＝1．

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

由Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3．

∵x1＋x2＝，x1x2＝，

∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝，

化简得4k2＋3－2m2＝0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2＝m2－3(*)，

∴kOA·kOB＝＝ ＝

＝，由(*)式，得＝1，

∴kOA·kOB＝－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－．