Question

15．${（{\sqrt{3}x-1}）^3}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}$，则（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²的值为（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 8
• D． -8

Answer 1

分析 根据题意，分别令x=1和x=-1，求出a₀+a₁+a₂+a₃与a₀-a₁+a₂-a₃的值，
再因式分解求出（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²的值．

解答 解：由${（{\sqrt{3}x-1}）^3}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+{a_3}{x^3}$，
令x=1，得${（\sqrt{3}-1）}^{3}$=a₀+a₁+a₂+a₃，
令x=-1，得${（-\sqrt{3}-1）}^{3}$=a₀-a₁+a₂-a₃，
∴（a₀+a₂）²-（a₁+a₃）²=（a₀+a₁+a₂+a₃）（a₀-a₁+a₂-a₃）
=${（\sqrt{3}-1）}^{3}$${（-\sqrt{3}-1）}^{3}$
=${[（-1+\sqrt{3}）（-1-\sqrt{3}）]}^{3}$
=（1-3）³
=-8．
故选：D．

点评 本题考查了利用赋值法求二项式展开式系数和的应用问题，是基础题．