Question

5．设正实数x，y满足x+2y=xy，若m²+2m＜x+2y恒成立，则实数m的取值范围是（-4，2）．

Answer 1

分析 根据题意，把x+2y=xy化为$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，利用基本不等式求出x+2y的最小值，再转化不等式m²-2m＜x+2y，求解关于m的不等式即可．

解答 解：正实数x，y满足x+2y=xy，
∴$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，
当且仅当x=2y，即x=4，y=2时等号成立．
不等式m²+2m＜x+2y恒成立，
即m²+2m＜8恒成立，
解得-4＜m＜2；
∴实数m的取值范围是（-4，2）．
故答案为：（-4，2）．

点评 本题考查恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值，关键是“1”的应用，是中档题．