Question

某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)²万件，若该企业所生产的产品全部售出，则称该企业正常生产，但为了保护环境，用于治理污染的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3)．

(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；

(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．

Answer 1

 (1)依题意，L(x)＝(x－3)(11－x)²－a(11－x)²＝(x－3－a)(11－x)²，x∈[7,10]．

(2)因为L′(x)＝(11－x)²－2(x－3－a)·(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a)＝(11－x)(17＋2a－3x)．

由L′(x)＝0，得x＝11∉[7,10]或x＝.

因为1≤a≤3，

所以≤≤.

①当≤≤7，即1≤a≤2时，L′(x)在[7,10]上恒为负，则L(x)在[7,10]上为减函数，所以L(x)_max＝L(7)＝16(4－a)．

②当7<≤，即2<a≤3时，

L(x)_max＝L()＝(8－a)³.

当1≤a≤2时，在每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元．当2<a≤3时，在每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－a)³万元．