Question

19．已知函数f（x）=ax+b，且f（1）=2，f（2）=-1．
（1）f（m+1）=3求m；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先求出f（x）的解析式，再根据解析式列出方程求m的值；
（2）根据f（x）的解析式得出f（x）是定义域R上的减函数，用定义证明即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax+b，且f（1）=2，f（2）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{2a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x+5；
又f（m+1）=3，
∴-3（m+1）+5=3，
解得m=-$\frac{1}{3}$；
（2）∵f（x）=-3x+5，x∈R，
∴函数f（x）在定义域R上是单调减函数，用定义证明如下：
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-3x₁+5）-（-3x₂+5）=3（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是定义域R上的减函数．

点评 本题考查了用待定系数法求函数的解析式的应用问题，也考查了用定义证明函数的单调性问题，是基础题目．