Question

1．设$f（x）=\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，e]，f（x）≤mx恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，由题意可得f'（1）=1，代入即可求得a的值；
（Ⅱ）由题意可知：$\frac{4lnx}{3x+1}\;≤\;m$恒成立，构造辅助函数，求导，由g'（x）＞0，g（x）在[1，e]单调递增，求得g（x）最大值g（x）_max，则m≥g（x）_max，即可求得m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{（4x+a）lnx}{3x+1}$，求导，
$f'（x）=\frac{{（\frac{4x+a}{x}+4lnx）（3x+1）-3（4x+a）lnx}}{{{{（3x+1）}^2}}}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=1，即f'（1）=1，解得a=0，
∴a的值0；…6分
（Ⅱ）对于任意的x∈[1，e]，f（x）≤mx，即$\frac{4xlnx}{3x+1}\;≤\;mx$恒成立，
即$\frac{4lnx}{3x+1}\;≤\;m$恒成立，…8分
设$g（x）=\frac{4lnx}{3x+1}$，$g'（x）=\frac{{12（1-lnx）+\frac{4}{x}}}{{{{（3x+1）}^2}}}$，…10分
由x∈[1，e]，则g'（x）＞0，g（x）在[1，e]单调递增，
∴g（x）最大值为$g（e）=\frac{4}{3e+1}$，
∴$m\;≥\;\frac{4}{3e+1}$，
m的取值范围[$\frac{4}{3e+1}$，+∞）．…12分．

点评 本题考查导数的综合应用，导数且几何意义，考查导数与函数的单调性和最值的关系，考查计算能力，属于中档题．