Question

（本小题满分14分）已知函数（）的图象为曲线．
（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；
（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 不存在一条直线与曲线C同时切于两点

试题分析：解：（Ⅰ），则，
即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------3分
（Ⅱ）由（1）可知，---------------------------------------------------------5分
解得或，由或
得：；-------------------------------7分
（Ⅲ）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，
，
则切线方程是：，
化简得：，
而过B的切线方程是，
由于两切线是同一直线，
则有：，得，----------------------11分
又由，
即
，即
即，
得，但当时，由得，这与矛盾。
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.     ---------------14分
点评：对于切线方程的求解主要抓住两点：第一是切点，第二就是切点出的切线的斜率。然后结合点斜式方程来得到。以及利用函数的思想求解斜率的范围，或者确定方程的解即为切线的条数问题。