Question

已知椭圆C的焦点为F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

），且点P（-

1

2

，

3

）在椭圆上，直线y=kx+1与C相交A，B两点．
（1）求出椭圆C的标准方程；
（2）若

OA

⊥

OB

，求出k的值（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得c=

3

，再利用椭圆的定义和性质求得a、b的值，再根据焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程．
（2）由题意可得

OA

•

OB

=0，设点A（x₁，kx₁+1），B （x₂，kx₂+1），可得（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0．再把直线方程和椭圆的方程联立方程组，化为关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求得k的值．

解答： 解：（1）由题意可得c=

3

，|PF₁|+|PF₂|=4=2a，∴a=2，∴b=

a2-c2

=1．
再根据焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为

y2

4

+x²=1．
（2）若

OA

⊥

OB

，则

OA

•

OB

=0．设点A（x₁，kx₁+1），B （x₂，kx₂+1），
则有 x₁•x₂+（ kx₁+1）•（kx₂+1）=（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0 ①．
由

y=kx+1 y2 4 +x2=1

 求得 （4+k²）x²+2kx-3=0，∴由韦达定理可得 x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁+•x₂=-

3

4+k2

．
再把它代入①求得 k=±

1

2

．

点评：本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，属于中档题．