Question

设m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则

m2+n2

mn

取值范围是

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：将y整理成x的一次函数的形式，得到满足m，n的可行域，从而求出

n

m

的范围，进而得到代数式

m2+n2

mn

的范围．

解答： 解：解：设y=2xm+（2-x）n-8，整理可得y=﹙2m-n﹚x+﹙2n-8﹚
当2m-n＞0时，因为x∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•﹙-4﹚+﹙2n-8﹚=-8m+6n-8
当2m-n＜0时，因为x∈[-4，2]，所以y_min=﹙2m-n﹚•2+﹙2n-8﹚=4m-8
∵不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，
∴m，n满足

-8m+6n-8≥0 2m-n＞0 n≤6

或

2m-n＜0 4m-8≥0 n≤6

，
可行域如图或
∴当且仅当m=2，n=6时，(

n

m

)max=3，∴0＜

n

m

≤3，
令y=

m2+n2

mn

=

n

m

+

m

n

，
令

n

m

=x，∴y=x+

1

x

，（0＜x≤3），
∴2≤y≤

10

3

，
故答案为：[2，

10

3

]．

点评：本题考查了不等式的解法，考查了线性规划问题，考查了转化思想，是一道中档题．