Question

在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1．
（1）求异面直线B₁C₁与AC所成的角的大小；
（2）若A₁C与平面ABCS所成角为45°，求三棱锥A₁-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）将B₁C₁平移到BC，根据异面直线所成角的定义可知∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角（或它的补角），在Rt△ACB中求出此角即可；
（2）根据AA₁⊥平面ABC，则AA₁就是几何体的高，再求出底面积，最后根据三棱锥A₁-ABC的体积公式V=

1

3

S_△ABC×AA₁求解．

解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角（或它的补角）
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，
∴∠ACB=45°，
∴异面直线B₁C₁与AC所成角为45°．
（2）∵AA₁⊥平面ABC，
∠ACA₁是A₁C与平面ABC所成的角，∠ACA=45°．
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=

2

，
∴AA₁=

2

．
∴三棱锥A₁-ABC的体积V=

1

3

S_△ABC×AA₁=

2

6

．

点评：本小题主要考查异面直线所成的角，以及空间几何体的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．