Question

18．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐进线交于点B，若$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，则此双曲线的离心率为2．

Answer 1

分析 方法一：求得渐近线方程，联立求得A，B坐标，根据向量数量积坐标运算，整理即可求得双曲线的离心率；
方法二：先由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$得出A为线段FB的中点，再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数，找到a，b之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率．

解答 解：方法一：由题意得左焦点F（-c，0），
设一渐近线OA的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，另一渐近线OB的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
由FA的方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{b}（x+c）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，
则A（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}{b}（x+c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}}\\{y=\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}}\end{array}\right.$，
则B（$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{abc}{{b}^{2}-{a}^{2}}$）
由$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，可得2（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c）=$\frac{{a}^{2}c}{{b}^{2}-{a}^{2}}$+c，
即为-$\frac{2{a}^{2}}{c}$+2c=$\frac{{a}^{2}c}{{c}^{2}-2{a}^{2}}$+c，整理得：c⁴-5a²c²+4a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，等式两边同除以a⁴，整理得：c⁴-5e²+4=0，
解得e²=4或e²=1，
由e＞1，
∴e=2．
故答案为：2．
方法二：如图$\overrightarrow{FB}$=2$\overrightarrow{FA}$，则A为线段FB的中点，
∴∠2=∠4，又∠1=∠3，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3．
故∠2+∠3=90°=3∠2，∠2=30°⇒∠1=60°，$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，则e=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题．