Question

10．在等差数列{a_n}中，a₁₅+a₁₆+a₁₇=-45，a₉=-36，S_n为其前n项和．
（1）求S_n的最小值，并求出相应的n值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式与求和公式即可得出．
（2）n≤21时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n．n≥22时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a₂₁）+a₂₂+…+a_n=-2S₂₁+S_n．

解答 解：（1）等差数列{a_n}中，a₁₅+a₁₆+a₁₇=-45，a₉=-36，
∴3a₁+45d=-45，a₁+8d=-36，
解得a₁=-60，d=3．
∴a_n=-60+3（n-1）=3n-63．
S_n=$\frac{n（-60+3n-63）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}-123n}{2}$．
令a_n=3n-63≤0．解得n≤21．
∴n=20或21时S_n取得最小值=$\frac{3×2{1}^{2}-123×21}{2}$=-630．
（2）n≤21时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n．
n≥22时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a₂₁）+a₂₂+…+a_n=-2S₂₁+S_n=$\frac{3{n}^{2}-123n}{2}$-2×（-630）=$\frac{3{n}^{2}-123n}{2}$+1260．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．