Question

【题目】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线C的两条切线，切点为A，B．

（1）求证：直线AB过焦点F；

（2）若|PA|＝8，|PB|＝6，求|PF|的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）设A，B，P的坐标，设直线PA，PB的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，由判别式为0及点A，B在抛物线上可得直线PA，PB的斜率与A，B的纵坐标的关系，由于P在两条直线上，可得直线AB的方程ay＝﹣2+2x 上，可得直线AB恒过定点（1，0），即直线过抛物线的焦点；

（2）由（1）可得直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线PA，PB的斜率之积为﹣1，所以直线PA，PB互相垂直，可得弦长|AB|的值，A，B代入抛物线的方程作差可得直线AB的斜率，求出PF的斜率与AB的斜率之积为﹣1，进而求出PF的值．

解：（1）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，a）、设直线PA：y﹣y1＝k1（x﹣x1），

联立 整理可得：y24x1＝0，

由△＝0 得1﹣k1y1+k12x1＝0 又y12＝4x1，故1﹣k1y1k12y12＝0，

故（1）2＝0，

故kPA＝k1，故直线PA的方程为：y﹣y1（x﹣x1），即yy1＝2x+2x1，

同理kPB，直线PB 的方程为：yy2＝2x+2x2．

又P在直线PA，PB 上∴，

故A（x1，y1），B（x2，y2），在直线ay＝﹣2+2x 上，

故直线AB 的方程为ay＝﹣2+2x．令y＝0，得x＝1，

∴直线AB过焦点F．

（2）由（1）知联立消x 得：y2﹣2ay﹣4＝0 ，

故y1+y2＝2a，y1y＝﹣4，故kPAkPB1，

故直线PA与直线PB垂直，从而|AB|10，

又∴y12﹣y22＝4（x1﹣x2），kAB，

又kPF，kPFkAB＝﹣1，故PF⊥AB，

∴|PF|．