Question

【题目】设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于点、（不与左右顶点重合），连结、，已知周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的斜率为1，求的面积；

（3）设，且，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义，可得，，再由，，的关系可得，进而得到所求椭圆方程；

（2）求得直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用韦达定理，结合的面积为，计算可得所求值；

（3）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，运用韦达定理，由，得出，结合，设，所以，，运用韦达定理可求出，进而得到所求直线方程．

（1）解：由题可知，周长为8，

由椭圆的定义，可知的周长等于，

则，所以，

又，所以，，

因此椭圆的方程为.

（2）解：依题意，直线的方程为，

与椭圆方程联立，整理得：，

由韦达定理：，，

.

（3）解：设直线的方程为，，，

直线与椭圆方程联立，

整理得：，

由韦达定理：①，②，

因为，

所以，

即，由，，

得：，

所以，

又，不妨设，所以，，

代入，所以，

所以，整理得，

代入①②，计算得，

所以直线的方程为或.