Question

已知函数f（x）=ax-

1

x

，且f（-2）=-

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数f（x）=ax-

1

x

，且f（-2）=-

3

2

，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，利用单调性的定义加以证明；
（3）f（x）在[

1

2

，2]上是增函数，可求函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f(-2)=-

3

2

，
∴-2a+

1

2

=-

3

2

…（1分）
得a=1，∴f(x)=x-

1

x

…（3分）
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂…（4分）
f（x₁）-f（x₂）=x₁-

1

x1

-x₂+

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2+1)

x1x2

…（7分）
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂+1＞0…（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．          …（9分）
（3）由（2）可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[

1

2

，2]上是增函数…（10分）
∴f(x)max=f(2)=

3

2

，f(x)min=f(

1

2

)=-

3

2

…（12分）

点评：本题考查函数的解析式，考查函数的单调性的判断与证明，考查函数的最值，确定函数的单调性是关键．