Question

15．已知a，b为正整数且a≤b，实数x、y满足x+y=4（$\sqrt{x+a}$$+\sqrt{y+b}$）．若x+y的最大值为40，则满足条件的数对（a，b）的数目为5．

Answer 1

分析 方法一：配方可得，（$\sqrt{x+a}$-2）²+（$\sqrt{y+b}$-2）²=a+b+8，可令$\sqrt{x+a}$=2+$\sqrt{a+b+8}$cosα，$\sqrt{y+b}$=2+$\sqrt{a+b+8}$sinα，两边平方，再由两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可求得最大值，进而得到a+b=10，问题得以解决．
方法二，平方后，再根据基本不等式即可求出a+b=10，问题得以解决．

解答 解：方法一：x+y=4（$\sqrt{x+a}$$+\sqrt{y+b}$），
即为（x+a）+（y+b）-4（$\sqrt{x+a}$$+\sqrt{y+b}$）=a+b，
配方可得，（$\sqrt{x+a}$-2）²+（$\sqrt{y+b}$-2）²=a+b+8，
可令$\sqrt{x+a}$=2+$\sqrt{a+b+8}$cosα，$\sqrt{y+b}$=2+$\sqrt{a+b+8}$sinα，
由平方相加，可得x+y+a+b=8+a+b+8+4$\sqrt{a+b+8}$（sinα+cosα），
=a+b+16+4$\sqrt{a+b+8}$•$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
即有sin（α+$\frac{π}{4}$）=1时，x+y取得最大值40，
即为16+4$\sqrt{a+b+8}$•$\sqrt{2}$=40，
解得a+b=10，
∵a，b为正整数且a≤b，
∴（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）（5，5），共5组，
方法二：x+y=4（$\sqrt{x+a}$$+\sqrt{y+b}$），
平方得：（x+y）²=16（（x+a）+（y+b）+2$\sqrt{（x+a）（y+b）}$）
根据基本不等式可知：2$\sqrt{（x+a）（y+b）}$≤（x+a）+（y+b）
∴（x+y）²≤16（（x+a）+（y+b）+（x+a）+（y+b） ）
（x+y）²≤32[（x+y）+（a+b）]
（x+y）²-32（x+y）-32（a+b）≤0
∵x+y的最大值为40，即x+y≤40，
∴x+y=40满足（x+y）²-32（x+y）-32（a+b）=0，
由此可得：a+b=10，
因为a，b为正整数，且a≤b，
∴（1，9），（2，8），（3，7），（4，6）（5，5），共5组，
故答案为：5．

点评 本题考查三角换元求函数的最值，同时考查两角和的正弦公式及正弦函数的值域，以及基本不等式，考查运算能力，属于难题．