Question

已知a∈R，函数f（x）=4x³-2ax+a．
（1）a=1时，求函数的极值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）a=1时，f（x）=4x³-2x+1，得f′（x）=2（6x²-1），从而f（x）在（-∞，-

6

6

），（

6

6

，+∞）递增，在（-

6

6

，

6

6

）递减，进而求出f（x）_极大值，f（x）_极小值．
（2）求导函数可得f′（x）=12x²-2a，讨论a≤0时，a＞0时的情况，从而求出单调区间．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=4x³-2x+1，
∴f′（x）=2（6x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞

6

6

，x＜-

6

6

，
令f′（x）＜0，解得：-

6

6

＜x＜

6

6

，
∴f（x）在（-∞，-

6

6

），（

6

6

，+∞）递增，在（-

6

6

，

6

6

）递减，
∴f（x）_极大值=f（-

6

6

）=1+

2 6

9

，f（x）_极小值=f（

6

6

）=1-

2 6

9

；
（2）求导函数可得f′（x）=12x²-2a，
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x²-2a=12（x-

a 6

）（x+

a 6

）
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-

a 6

），（

a 6

，+∞）；单调递减区间为（-

a 6

，

a 6

）．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道中档题．