Question

已知椭圆的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

c

a

=

3

2

，可求得

b

a

=

1

2

，设椭圆的方程，再把点M（4，1），代入即可；
（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵

c

a

=

3

2

，
∴

b

a

=

1

2

，
依题意设椭圆方程为：

x2

4b2

+

y2

b2

=1，把点（4，1）代入，得b²=5，
∴椭圆方程为

x2

20

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B，
∴△=64m²-4×5（4m²-20）＞0，整理得m²＜25，
∴-5＜m＜5．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=

m2-20

5

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=

4m2-20

5

+

m2-20

5

=0，
∴m=±2

2

，满足题意．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，着重考查待定系数法求椭圆的方程及方程思想与化归思想，属于中档题．