Question

【题目】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点.若线段的垂直平分线与轴交于点，则（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），直线AB的斜率为，则垂直平分线的斜率为﹣，且与x轴交于点M（11，0），则y=﹣（x﹣11），则直线AB的方程为y=（x﹣），代入抛物线方程，由韦达定理可知：x1+x2=，根据中点坐标公式求得中点P坐标，代入AB的垂直平分线方程，即可求得p的值．

由题意可知：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），

直线AB的斜率为，则垂直平分线的斜率为﹣，且与x轴交于点M（11，0），则y=﹣（x﹣11），

设直线AB的方程为：y=（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P（x0，y0），

，整理得：3x2﹣5px+=0，

由韦达定理可知：x1+x2=，

由中点坐标公式可知：x0=，则y0=，

由P在垂直平分线上，则y0=﹣（x0﹣11），即p=﹣（﹣11），

解得：p=6，

故选：C．