Question

21、已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
求证：（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2 ）A₁C⊥面AB₁D₁．

Answer 1

分析：（1）欲证C₁O∥面AB₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C₁O与面AB₁D₁内一直线平行，连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，易得C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，满足定理所需条件；
（2）欲证A₁C⊥面AB₁D₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁C与面AB₁D₁内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A₁C⊥B₁D₁，同理可证A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，满足定理所需条件．

解答：证明：（1）连接A₁C₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接AO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁ACC₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC且A₁C₁=AC，
又O₁，O分别是A₁C₁，AC的中点，
∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，
∴AOC₁O₁是平行四边形，
∴C₁O∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，C₁O?面AB₁D₁，
∴C₁O∥面AB₁D₁；
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁∴CC₁⊥B₁D_!，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C，即A₁C⊥B₁D₁，
同理可证A₁C⊥AB₁，又D₁B₁∩AB₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁

点评：本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．