Question

设是函数的一个极值点.
(1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
(2）设，在区间[0，4]上是增函数.若存在使得成立，求的取值范围.

Answer 1

(1）b＝－3－2a , 当a<－4时f (x) 的减区间有（－∞，3）和（―a―1，＋∞）,增区间为（3，―a―1）; 当a>－4时f (x) 的减区间有（－∞，―a―1）和（3，＋∞）,增区间为（―a―1，3）;
(2）（0，）.

试题分析：(1）由是函数的一个极值点,可得 ,从而就可用用表示出 来；这样就可以用a的代数式将表达出来，令其等于零解得两个实根，注意由已知这两个实根应该不等而得到：a≠－4 ，然后通过讨论两根的大小及 的符号就可确定函数的单调区间；(2）由（1）可求得当当a>0时，在区间[0，4]上的最大值和最小值，由已知也可求得在区间[0，4]上的最大值的最小值；而存在使得成立等价于，解此不等式就可求得的取值范围.
试题解析：(1）f `(x)＝－[x<sup>2</sup>＋(a－2)x＋b－a ]e<sup>3－x</sup>,
由，得 －[3<sup>2</sup>＋(a－2)3＋b－a ]e<sup>3－3</sup>＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.
令f `(x)＝0，得x<sub>1</sub>＝3或x<sub>2</sub>＝－a－1，由于x＝3是极值点，所以，那么a≠－4.
当a<－4时，x<sub>2</sub>>3＝x<sub>1</sub>，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x₂<3＝x₁，则
在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间（―a―1，3）上，f (x)>0，f (x)为增函数；
在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
(2）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，
由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只需且仅须
(a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.
故a的取值范围是（0，）.