Question

已知向量

m

=（2sinx，-1），

n

=（2sin（x+

π

6

），

3

），f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式和最小正周期．
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x），然后根据三角函数的关系式，即可求函数f（x）的解析式和最小正周期．
（Ⅱ）根据三角函数的单调性的性质即可求出函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵

m

=（2sinx，-1），

n

=(2sin(x+

π

6

)，

3

)，
∴

m

•

n

=4sinx•sin(x+

π

6

)-

3

=4sinx（

3

2

sinx+

1

2

cosx-

3

）
=2

3

sin2x+2sinxcosx-

3

，
∴f(x)=2sin(2x-

π

3

)，
则函数f（x）最小正周期为

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵f(x)=2sin(2x-

π

3

)，
∴当-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，递增，此时kπ-

π

12

≤x≤kπ

5π

12

，k∈Z
当

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)，即kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

(k∈Z)时，f（x）递减．
∴函数f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

12

-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)，k∈Z．
f（x）的单调递减区间是[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

](k∈Z)，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力．