Question

如图所示，点列{A_n}满足：|

OA1

|=1，|

OAi+1

|=2|

OAi

|+1，A_i均在坐标轴上（i∈N^*），则向量

OA1

+

OA2

+…+

OA2014

=（　　）

• A、（2²⁰¹⁴-1，0）
• B、（2²⁰¹⁶-1，2²⁰¹⁵-1）
• C、（

  22014-1

  5

  ，

  3(22014-1)

  5

  ）
• D、（

  22016-1

  5

  ，

  22015-3

  5

  ）

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,向量加减混合运算及其几何意义

专题：点列、递归数列与数学归纳法,平面向量及应用

分析：由于点列{A_n}满足：|

OA1

|=1，|

OAi+1

|=2|

OAi

|+1，设an=|

OAi

|，则a₁=1，a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），可知；数列{a_n+1}是等比数列，利用通项公式可得an=2n-1．由于A_i均在坐标轴上（i∈N^*），且A_4n-3，A_4n-2，A_4n-1，A_4n，（n∈N^*）分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴，y轴的负半轴，x轴的负半轴．
可得向量

OA1

+

OA2

+…+

OA2014

的横坐标=a₂-a₄+a₆-a₈+…+a₂₀₁₀-a₂₀₁₂+a₂₀₁₄，向量

OA1

+

OA2

+…+

OA2014

的纵坐标=a₁-a₃+a₅-a₇+…+-a₂₀₁₁₊a₂₀₁₃，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：∵点列{A_n}满足：|

OA1

|=1，|

OAi+1

|=2|

OAi

|+1，
设an=|

OAi

|，则a₁=1，a_n+1=2a_n+1，化为a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2ⁿ．
∴an=2n-1．
由于A_i均在坐标轴上（i∈N^*），
且A_4n-3，A_4n-2，A_4n-1，A_4n，分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴，y轴的负半轴，x轴的负半轴．
∴向量

OA1

+

OA2

+…+

OA2014

的横坐标=a₂-a₄+a₆-a₈+…+a₂₀₁₀-a₂₀₁₂+a₂₀₁₄
=（2²-1）-（2⁴-1）+（2⁶-1）-（2⁸-1）+…+（2²⁰¹⁰-1）-（2²⁰¹²-1）+（2²⁰¹⁴-1）
=2²-2⁴+2⁶-2⁸+…+2²⁰¹⁰-2²⁰¹²+2²⁰¹⁴-1
=

4[(-4)1007-1]

-4-1

-1
=

22016-1

5

．
同理可得向量

OA1

+

OA2

+…+

OA2014

的纵坐标=a₁-a₃+a₅-a₇+…+-a₂₀₁₁₊a₂₀₁₃=

22015-3

5

．
∴向量

OA1

+

OA2

+…+

OA2014

=(

22016-1

5

，

22015-3

5

)．
故选：D．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论和数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．