解:(Ⅰ)由函数f(x)图象过点(-1,-6),得m-n=-3,①………………1分
由f(x)=x
3+mx
2+nx-2,得f′(x)=3x
2+2mx+n,………………………………………2分
则g(x)=f′(x)+6x=3x
2+(6+2m)x+n;
而g(x)图象关于y轴对称,所以-
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823190722569488.gif)
=0,所以m=-3,
代入①得n=0.………………………………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2),
令f′(x)=0得x=0或x=2.…………………………………………………………5分
当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231907226019425.jpg)
由此可得:
当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/2014082319072263265.gif)
0)=-2,无极小值;
当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值;
当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值;
当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值.…………………………………………11分
综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值,当1<a<3时,有极小值-6,无极大值,当a=1或a≥3时,f(x)无极值.…………………………
![](http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/2014082319072264765.gif)
………………12分