Question

【题目】平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．将曲线上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变）得到曲线．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，若直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用极坐标公式将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用伸缩变换得到曲线的直角坐标方程；

（2）联立与的方程，利用直线参数方程的几何意义解决长度相关问题，求得直线的斜率.

（1）的极坐标方程化为直角坐标方程为．

将曲线上每一点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变）得到曲线的方程为．

（2）将的参数方程代入得．

因为在圆内且在直线上，此方程一定有两个不等的实根，

令，对应的参数为，，则．

由韦达定理得，于是，

消去得，得，则斜率．