Question

【题目】一只苍蝇和只蜘蛛被放置在方格表的一些交点处.一次操作包括以下步骤：首先，苍蝇移动到相邻的交点处或者原地不动，然后，每只蜘蛛移动到相邻交点处或者原地不动（同一交点可以同时停留多只蜘蛛）.假设每只蜘蛛和苍蝇总是知道其他蜘蛛和苍蝇的位置.

（1）找出最小的正整数，使得在有限次操作内，蜘蛛能够抓住苍蝇，且与其初始位置无关；

（2）在的空间三维方格中，（1）中的结论又是怎样？

（注）题中相邻是指一个交点仅有一个坐标与另一个交点的同一坐标不同，且差值为1；题中抓住是指蜘蛛和苍蝇位于同一交点.

Answer 1

【答案】（1）2 （2）见解析

【解析】

（1）首先证明，一只蜘蛛无法捉到苍蝇.

建立直角坐标系，则蜘蛛、苍蝇活动的范围是.

对于上述集合中的每个点，至少存在两个集合中的点和它相邻.因此，若某次蜘蛛行动之后与苍蝇不相邻，则苍蝇不动即可；若某次蜘蛛行动后与苍蝇相邻，则它只需进入与其所在点相邻的另一个上述集合中的点.这样蜘蛛捉不到苍蝇.

其次，若有两只蜘蛛、，记与苍蝇在次移动后的距离为，其中，定义两点与的距离为.

首先，可以通过若干次操作使得.

接下来证明：

（ⅰ）每次移动后，可适当移动、，使得处于以、为对角线的矩形内部或边界上（、的连线不平行于坐标轴）；

（ⅱ）保持不增，且若干次后必严格减少.

事实上，记、轴正方向的单位向量为、.则策略如下：

若某次苍蝇移动后某坐标值不在以、为对角线的矩形内部或者边界上，则、同时沿该方向朝所在的方格移动；否则，只要移动或，只要移动或，适当选择使、的连线不平行于坐标轴，且保持苍蝇的位置位于上述矩形的内部或边界上.由归纳法易证（ⅰ）.

下面证明（ⅱ）.

事实上，若在次操作前严格位于以、为对角线的矩形内，则该轮次后，必减；否则，必在矩形的某边上且它必须向矩形外移动，由规则知此时不增，但方格表有界，因此，至多在4024步以后不能再向矩形外移动.此时，严格减少.

因为的初始值为4024，不能无限下降，所以，经过有限步操作后蜘蛛能够抓到苍蝇.

（2）结论不变，的最小值仍为2.

建立空间直角坐标系，则、的范围是.

当时，令、通过若干次操作分别到与，且每次操作保持在以、为体对角线的立方体内部或边界（面、棱、顶点）上，且、的连线不平行于平面、、.完全类似可证：每次操作后不增，且至多经过步后，必定严格减少.

而初始的，故经过有限步也必定结束操作，蜘蛛抓住苍蝇.