Question

【题目】已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点,

(1)求k的取值范围;

(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和的面积S。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），面积为.

【解析】

试题（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，，所以方程为；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的的取值范围；（3）利用弦长公式计算得直线斜率为.由题设向量关系，得到，代入双曲线方程，求得，利用面积公式求得面积为.

试题解析：

（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知

故曲线的方程为

（2）设，由题意建立方程组

消去，得

又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得

（3）

依题意得

整理后得

∴或

但∴

故直线的方程为

设，由已知，得

∴

又

∴点

将点的坐标代入曲线的方程，得得，

但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意

∴，点的坐标为 到的距离为

∴的面积