Question

【题目】在某次会操活动中，领操员让编号为的名学生排成一个圆形阵，做循环报数，领操员一一记录报数者的编号，并要求报l、2的学生出列，报3的学生留在队列中，并将编号改为此次循环报数中三名学生的编号之和．一直循环报数下去．当操场上剩余的学生人数不超过两名时，报数活动结束．领操员记录最后留在操场的学生编号（例如，编号为的九名学生排成一个圆形阵，报数结束后，只有原始编号为9的学生留在操场，此时，他的编号为45，领操员记录下来的数据分别为l，2，3，4，5，6，7，8，9，6，15，24，45）．已知共有2011名学生参加会操．

（1）最后留在场内的学生最初的编号是几号?

（2）求领操员记录下的编号之和．

Answer 1

【答案】（1）1923；（2）

【解析】

记领操员记录下的编号依次为，，…，，，…，，其和为．于是，

（1）在每次循环报数后，学生总人数减少2，但编号之和不变．

（2）若，经过次循环报数后产生个新编号，这些编号之和为；再经过次循环报数产生个新编号，这些编号之和也为；……经过共

次循环报数，最后剩下1名学生，他的编号为，且他的原始编号为（即当时，最后一名学生留在场上）．

由（1）知．

（3）若一圈学生人数为，且最后一名学生的编号为，则经过次循环报数后，产生个新编号，此时，学生人数变为，第1名学生编号为．

对于一般的奇数，令，满足．

则，．

首先，前名学生，，…，称为第一组，其编号和为．

记学生初始编号和．

由（1）、（3）知，经过次循环报数，学生人数变为，其中，第一名学生编号为称为第二组；再经过次循环报数后，学生人数变为，称为第三组；重复循环报数直到学生人数为1，此时，是第组．

最后留在场上的学生原始编号为，且．

当时，因，所以，，．

最后留在场上的学生原始编号为l923．故．