【题目】已知若干个长方体盒子,其棱长均为不大于正奇数的正整数(允许三棱长相同),且盒壁厚度忽略不计,每个盒子的三组对面分别染为红、蓝、黄三色,若没有一个盒子能以同色面平行的方式装入另一个盒子中,则称这些盒子是“和谐的”,求最多有多少个和谐盒子?
【答案】
【解析】
设和谐盒子最多有个,在空间直角坐标系中,坐标面
,
,
分别染为红、蓝、黄三色,将上述盒子放入坐标系中,使其共顶点的三面分别放入同色的坐标面中,则每个盒子与一个整数有序数组
一一对应,其中,
、
、
、
,
、
、
.从而,和谐盒子集合对应一个空间直角坐标系中的点集
,
,满足对于任意
中的两点
,
,有
, ①其中,
.
设,其中,
,令
,
.显然,
中任意两点至多有一个分量相同,即
,且对任意
,
,有
. ②
将中各元按
分量的大小排序,记为
,其中,
.由式①知
.故
,如图,在
坐标平面内记
,
,其中,
,
,
,
.从而,式②等价于
. ③
对于,若
,则将所有
中的点并入
中,将新集合记为
,则
仍满足式③,对
继续上述调整,直至
,此时,仍记为
,将
各点依次连成一条折线,则所有
组成
中互不相交
条折线,故
,当
,即
时,上式等号成立.
综上,和谐盒子至多有个.
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【题目】某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握,提高命题质量,对该市高三理科数学试卷的得分情况进行了调研.从全市参加考试的理科考生中随机抽取了100名考生的数学成绩(满分150分),将数据分成9组:,
,
,
,
,
,
,
,
,并整理得到如图所示的频率分布直方图.用统计的方法得到样本标准差
,以频率值作为概率估计值.
(Ⅰ)根据频率分布直方图,求抽取的100名理科考生数学成绩的平均分及众数
;
(Ⅱ)用频率估计概率,从该市所有高三理科考生的数学成绩中随机抽取3个,记理科数学成绩位于区间内的个数为
,求
的分布列及数学期望
;
(Ⅲ)从该市高三理科数学考试成绩中任意抽取一份,记其成绩为,依据以下不等式评判(
表示对应事件的概率):
①,②
,
③,其中
.
评判规则:若至少满足以上两个不等式,则给予这套试卷好评,否则差评.试问:这套试卷得到好评还是差评?
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【题目】平面直角坐标系中,直线
的参数方程是
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.将曲线
上每一点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)得到曲线
.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)已知点,若直线
与曲线
交于
,
两点,且
,求直线
的斜率.
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【题目】为鼓励应届毕业大学生自主创业,国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策,现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市,初期投入为72万元,经营后每年的总收入为50万元,该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为
万元,已知
为等差数列,相关信息如图所示.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)该超市第几年开始盈利?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(Ⅲ)该超市经营多少年,其年平均获利最大?最大值是多少?(年平均获利)
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【题目】考虑的方格表,其中每个方格内均填有数字0.每次操作可先选定三个实数
、
、
,然后选定一行,将这一行每个方格中的数都加上
(
为该方格所在的列数,
);或选定一列,将这一列每个方格中的数都加上
(
为该方格所在的行数,
),问:能否经过有限次操作,使该方格表中四个角的数字变成1,而其他格的数字仍为0?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】将方格表的每个方格任意填入
或
,然后允许进行如下操作:每次任意选择一行(或列),将这一行(或列)中的数全部变号.若无论开始时方格表的数怎样填,总能经过不超过
次操作,使得方格表每一行中所有数的和、每一列中所有数的和均非负.试确定
的最小值
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为抗击新冠病毒,某部门安排甲、乙、丙、丁、戊五名专家到三地指导防疫工作.因工作需要,每地至少需安排一名专家,其中甲、乙两名专家必须安排在同一地工作,丙、丁两名专家不能安排在同一地工作,则不同的分配方法总数为( )
A.18B.24C.30D.36
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