Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x²，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+1，若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，则实数k的值为（　　）

• A、2

  6

  -2
• B、2

  2

  -4
• C、2

  6

  -4
• D、2

  2

  -2

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：本题通过奇函数特征得到函数图象经过原点，且关于原点对称，利用f（x+1）=f（x）+f（1）得到函数类似周期性特征，从而可以画出函数的草图，得到k的取值

解答： 解：∵当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴f（1）=1．
∵当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），
∴f（x+1）=f（x）+1，
∴当x∈[n，n+1]，n∈N^*时，
f（x+1）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=…=f（x-n）+n=（x-n）²+n，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数图象经过原点，且关于原点对称．
∵直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，
∴当x＞0时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有4个不同的公共点，
∴由x＞0时f（x）的图象可知：
直线y=kx与函数y=f（x）的图象相切位置在x∈[2，3]时，直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有9个不同的公共点，
由

y=kx y=(x-2)2+2

得：
x²-（k+4）x+6=0，
令△=0，得：k=2

6

-4．
故选：C

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．