Question

9．已知{a_n}满足${a_1}=1，{a_n}+{a_{n+1}}={（{\frac{1}{4}}）^n}（{n∈{N^*}}），{S_n}={a_1}+4•{a_2}+{4^2}•{a_3}+…+{4^{n-1}}{a_n}$，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得${S_n}-\frac{4^n}{5}{a_n}$=$\frac{n}{5}$．

Answer 1

分析 先对S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表达式，即可求出${S_n}-\frac{4^n}{5}{a_n}$．

解答 解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×$\frac{1}{4}$+${4}^{2}•（\frac{1}{4}）^{2}$+…+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
故${S_n}-\frac{4^n}{5}{a_n}$=$\frac{n}{5}$，
故答案为$\frac{n}{5}$．

点评 本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．