Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]的值等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{a_n}是增数列，且

1

an

＞0，

1

an+1

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，从而

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

=

1

a1

-

1

a2011

＜

1

a1

=3，由此能求出[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]=2．

解答： 解：∵数列{a_n}满足：a₁=

1

3

，a_n+1=a_n²+a_n，
∴an+1-an=an2＞0，
∴数列{a_n}是增数列，且

1

an

＞0，
∵a_n+1=a_n²+a_n=a_n（1+a_n），
∴

1

an+1

=

1

an(1+an)

=

1

an

-

1

1+an

，

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

a2010

-

1

a2011

=

1

a1

-

1

a2011

＜

1

a1

=3，
a1=

1

3

，a2=

1

9

+

1

3

=

4

9

，a3=

16

81

+

4

9

=

52

91

，

1

a1+1

+

1

a2+1

=

75

52

＞1，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

∈（1，3），
∴[

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

a2011+1

]=2．
故选：B．

点评：本题考查等差数列的前n项和的求法及应用，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．