Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是（　　）

• A． {t|3＞t＞2或0＜t＜1}
• B． {t|t＞2}
• C． {t|t＞3}
• D． {t|4＞t＞3或0＜t＜1}

Answer 1

分析 先由函数求f′（x），再由“函数f（x）在[t，t+1]上不单调”转化为：f′（x）=0在区间（t，t+1）上有解，进而转化为：x²-5x+4=0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx，
∴f′（x）=x-5+$\frac{4}{x}$，
∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-5x+4lnx在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）=x-5+$\frac{4}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴$\frac{{x}^{2}-5x+4}{x}$=0在（t，t+1）上有解
∴g（x）=x²-5x+4=0在（t，t+1）上有解，
由x²-5x+4=0得：x=1，或x=4，
∴1∈（t，t+1）或4∈（t，t+1），
即t∈（0，1）或（3，4），
故选：D．

点评 本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．