Question

5．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≥-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$．
（1）求z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围；
（2）求z=|x+y+1|最小值．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．

解答 解：∵实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≥-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，
∴作出可行域如图所示，
并求顶点坐标A（1，$\frac{22}{5}$），B（1，1），C（5，2），

（1）∵z=$\frac{y+1}{x+1}$=$\frac{y-（-1）}{x-（-1）}$表示可行域内任一点（x，y）与定点D（-1，-1）连线的斜率，
∴由图知k_CD≤z≤k_AD，又k_CD=$\frac{2+1}{5+1}$=$\frac{1}{2}$，k_AD=$\frac{\frac{22}{5}+1}{1+1}=\frac{27}{10}$，
∴$\frac{1}{2}≤z≤\frac{27}{10}$，∴z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{27}{10}$]．
（2）∵z=|x+y+1|，∴d=$\frac{z}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$表示可行域内任一点到直线x+y+1=0的距离．在图中作出直线x+y+1=0，由图易知可行域中的点B到该直线的距离最小
∴点B到该直线的距离d₀=$\frac{|1+1+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴d_min=$\frac{{z}_{min}}{\sqrt{2}}$，可得z=|x+y+1|最小值为：3．

点评 本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域，目标函数的几何意义的解题的关键．