Question

16．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，点E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的$\frac{4}{3}$，求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，证明EF⊥平面PAC，即可证明：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，利用V_A-PBC=V_P-ABC，求点E到平面PBC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，
∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴$BC=\sqrt{2}AC=2AD$，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴$AE=BF=\frac{2}{3}AD$，
∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF?平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，∴PB=PC，
取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，AG=CD=1
设PA=x，连接PG，则$PG=\sqrt{{x^2}+1}$，
∵侧面PBC的面积是底面ABCD的$\frac{4}{3}$倍，
∴$\frac{1}{2}×2•PG=\frac{4}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）$，即PG=2，求得$x=\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，
∵V_A-PBC=V_P-ABC，S_△PBC=2S_△ABC，
∴E到平面PBC的距离为$\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，