以直角坐标系的原点O为极点.x轴的正半轴为极轴.且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$.曲线C的极坐标方程是ρcos2θ=4sinθ．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρcos²θ=4sinθ．
（1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，点M为AB的中点，点P的极坐标为$（4\sqrt{3}，\frac{π}{3}）$，求|PM|的值．

分析（1）消去参数t得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线C的直角坐标方程；
（2）求出M，P的直角坐标，即可求|PM|的值．

解答解：（1）已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为y=$\sqrt{3}x$+3，
曲线C的极坐标方程是ρcos²θ=4sinθ，化为ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴x²=4y．…（5分）
（2）由直线与抛物线方程，消去y得x²-4$\sqrt{3}$x-12=0…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则AB的中点M（2$\sqrt{3}$，9）…（8分）
又点P的直角坐标为（2$\sqrt{3}$，6），…（9分）
所以|PM|=3…（10分）

点评本题考查了直角坐标方程化为参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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