Question

已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设g（x）=log₄（a•2^x+a），若f（x）=g（x）有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=f（-x），化简可得x=-2kx对一切x∈R恒成立，从而求得k的值．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，方程2x+

1

2x

=a•2x+a有且只有一个实根，且a•2^x+a＞0成立，则a＞0．令t=2^x＞0，则（a-1）t²+at-1=0有且只有一个正根，分类讨论求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：（1）由函数f（x）是偶函数可知：f（x）=f（-x），
∴log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx，化简得log4

4x+1

4-x+1

=-2kx，
即x=-2kx对一切x∈R恒成立，∴k=-

1

2

．
（2）由题意可得，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
即方程log4(4x+1)-

1

2

x=log4(a•2x+a)有且只有一个实根，
化简得：方程2x+

1

2x

=a•2x+a有且只有一个实根，且a•2^x+a＞0成立，则a＞0．
令t=2^x＞0，则（a-1）t²+at-1=0有且只有一个正根，
设g（t）=（a-1）t²+at-1，注意到g（0）=-1＜0，
所以①当a=1时，有t=1，合题意；
②当0＜a＜1时，g（t）图象开口向下，且g（0）=-1＜0，则需满足

- a 2(a-1) ＞0 △=0

，
此时有a=-2+2

2

；a=-2-2

2

（舍去）．
③当a＞1时，又g（0）=-1，方程恒有一个正根与一个负根．
综上可知，a的取值范围是{-2+2

2

}∪[1，+∞）．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的性质的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于基础．