Question

19．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A，B两点，如果$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-12，那么抛物线C的方程为（　　）

• A． x²=8y
• B． x²=4y
• C． y²=8x
• D． y²=4x

Answer 1

分析 设抛物线方程为y²=2px（p＞0），焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），与抛物线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点坐标，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），∴直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$），
由直线与抛物线方程联立，得k²x²-（pk²+2p）x+$\frac{1}{4}$p²k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=p+$\frac{2p}{{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$p²，
 y₁•y₂=k（x₁-$\frac{p}{2}$）•k（x₂-$\frac{p}{2}$）=k²[x₁•x₂-$\frac{p}{2}$（x₁+x₂）+$\frac{1}{4}$p²]=-p²，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{1}{4}$p²-p²=-12，
∴p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．
故选：C．

点评 本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，关键是利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂，进而得解．