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已知离心率为的椭圆过点为坐标原点,平行于的直线交椭圆于不同的两点

(1)求椭圆的方程。
(2)证明:若直线的斜率分别为,求证:+=0。

(Ⅰ).(Ⅱ)见解析。

解析试题分析:(1)由于先由椭圆C的离心率和椭圆过点M(2,1),列出方程组,再由方程组求出a,b,由此能求出椭圆方程
(2)联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得到根与系数的关系,那么再结合斜率公式得到证明。
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为:
由题意得: ∴ 椭圆方程为
(Ⅱ)由直线,可设,将式子代入椭圆得:
,则
设直线的斜率分别为,则 
下面只需证明:,事实上,


考点:本试题主要考查了椭圆方程的求法,考查三角形是等腰三角形的证明,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与椭圆的位置关系的灵活运用。
点评:解决该试题的关键是能利用椭圆的性质得到a,b,c,的值,进而得到椭圆方程,同时能利用韦达定理得到斜率的关系式。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分12分)
如图椭圆的上顶点为A,左顶点为B, F为右焦点, 过F作平行与AB的直线交椭圆于C、D两点. 作平行四边形OCED, E恰在椭圆上。
(1)求椭圆的离心率;
(2)若平行四边形OCED的面积为, 求椭圆的方程.

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已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点B恰好是抛物线的焦点,且离心率等于,直线与椭圆C交于M,N两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)椭圆C的右焦点F是否可以为的垂心?若可以,求出直线的方程;若不行,请说明理由.

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(12分)已知抛物线, 过点引一弦,使它恰在点被平分,求这条弦所在的直线的方程.

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(本小题14分)已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,直线与直线分别交于两点。

(I)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求线段的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段的长度最小时,在椭圆上是否存在这样的点,使得的面积为?若存在,确定点的个数,若不存在,说明理由。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本题满分12分)
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线在y轴上的截距为m(m≠0),交椭圆于A、B两个不同点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(14分)设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足,且.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)D是过三点的圆上的点,D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围,如果不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(I) 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点, 求证: 为定值;
(Ⅱ)由 (Ⅰ) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题12分)椭圆的左、右焦点分别为,直线经过点与椭圆交于两点。
(1)求的周长;
(2)若的倾斜角为,求的面积。

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