Question

【题目】已知函数，，函数在点处的切线与函数相切.

（1）求函数的值域；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数求出曲线在点处的切线方程，与函数的解析式联立，由可求得的值，然后利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；

（2）要证明，即证，即证，求出函数的最小值，并利用导数求出函数的最大值，由此可得出结论.

（1）切点，，则，.

所以，函数在点处的切线方程为，即.

函数在点处的切线与函数相切.

联立，化为，

，，解得.

，所以，函数的值域为；

（2）要证，即证，即证.

设，，则函数的定义域为.

，.

当时，，此时，函数单调递增；

当时，，此时，函数单调递减.

所以，函数的最大值为.

所以，，但是函数的最小值和函数的最大值不在同一处取得，

因此，.