Question

7．已知：函数$f（x）=x+\frac{m}{x}$，且f（1）=0
（1）求m的值和函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据方程关系即可求m的值和函数f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（3）根据函数单调性的定义判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

解答 解：（1）∵f（1）=0
∴f（1）=1+m=0，
则m=-1，此时f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
要使函数有意义，则x≠0，
即函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
∴定义域关于原点对称，
则f（-x）=-x+$\frac{1}{x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，
设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用定义法是解决本题的关键．