Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1，O为坐标原点，椭圆的右准线与x轴的交点是A．
（Ⅰ）点P在已知椭圆上，动点Q满足

OQ

=

OA

+

OP

，求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于点M，N，求△AMN的面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）确定A的坐标，利用

OQ

=

OA

+

OP

，可得坐标之间的关系，即可求动点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线MN的方程是x=my+1，与

x2

2

+y2=1联立，利用弦长公式求出|MN|，求出点A（2，0）到直线MN的距离，可得△AMN的面积，利用基本不等式，即可求△AMN的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由椭圆

x2

2

+y²=1可得点A（2，0）．
设Q（x，y），P（x₁，y₁），则

OP

=

OA

-

OQ

=(2-x，-y)=(x1，y1)，
又因为点P在已知椭圆上，故

(x-2)2

2

+y2=1为动点Q的轨迹方程．…（5分）
（Ⅱ）椭圆的右焦点F（1，0），设直线MN的方程是x=my+1，与

x2

2

+y2=1联立，可得（m²+2）y²+2my-1=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，于是|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(m2+1)

|y1-y2|=

2 2 (m2+1)

m2+2

．…（7分）
点A（2，0）到直线MN的距离d=

1

m2+1

，
于是△AMN的面积S=

1

2

|MN|d=

2(m2+1)

m2+2

．…（10分）
S=

2(m2+1)

m2+2

=

2 (m2+1)+ 1 m2+1 +2

≤

2 2 (m2+1) 1 m2+1 +2

=

2

2

，当且仅当m2+1=

1

m2+1

，即m=0时取到等号．
故△AMN的面积的最大值是

2

2

．…（13分）

点评：代入法求轨迹方程关键是确定坐标之间的关系，直线与圆锥曲线位置关系问题常常需要联立方程组，利用韦达定理．