Question

1．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右支上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，设∠ABF=θ，θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）且$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，则双曲线离心率的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．则四边形AFBF′为矩形．因此|AB=|FF′|=2c．而|AF′|-|AF|=2a．|AF|=2csinα，|BF′|=2ccosα．可得e=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，由θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$）求出双曲线离心率的最小值．

解答 解：如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′．
则四边形AFBF′为矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
|AF′|-|AF|=2a．
|AF|=2c•sinθ，|BF|=2c•cosθ．
∴2c•cosθ-2csinθ=2a．
∴e=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，
∵θ∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{π}{2}$），
∴e∈[$\sqrt{3}$+1，+∞）．
双曲线离心率的最小值$\sqrt{3}$+1，
故选D．

点评 本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．