Question

10．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长l；
（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大；
（3）若α=$\frac{π}{3}$，R=2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用弧长公式即可计算得解．
（2）由已知得l+2R=20，可求S=-（R-5）²+25，利用二次函数的图象即可得解．
（3）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积．

解答 解：（1）l=10×$\frac{π}{3}$=$\frac{10π}{3}$（cm）．
（2）由已知得：l+2R=20，
所以S=$\frac{1}{2}$lR=$\frac{1}{2}$（20-2R）R=-（R-5）²+25．
所以R=5时，S取得最大值25，此时l=10，α=2rad．
（3）设弓形面积为S_弓，由题知l=$\frac{2π}{3}$cm，
S_弓=S_扇-S_△=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{3}$×2-$\frac{1}{2}$×2²×sin $\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$-$\sqrt{3}$（cm²）．

点评 本题主要考查了弧长公式，二次函数的图象和性质，扇形面积，三角形面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．