Question

【题目】已知二次函数的图象过点，对任意满足，且有最小值为

（1）求的解析式；

（2）求函数在区间[0,1]上的最小值，其中；

（3）在区间[－1,3]上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题中条件可得函数的对称轴是，再根据函数最小值为可设出函数方程，再将代入可得解析式；

（2）先得出函数含未知数的解析式，讨论的取值范围，在对应范围内分析单调性，得出最小值；

（3）函数的图象在的上方，则在上恒成立，即，即求函数的最小值，从而求得结果.

（1）由题知二次函数图象的对称轴为x＝，又最小值是，

则可设，又图象过点(0,4)，解得a＝1.

所以；

（2）h(x)＝f(x)－(2t－3)x＝x2－2tx＋4＝(x－t)2＋4－t2，其对称轴x＝t.

①t≤0时，函数h(x)在[0,1]上单调递增，最小值为h(0)＝4；

②当0<t<1时，函数h(x)的最小值为h(t)＝4－t2；

③当t≥1时，函数h(x)在0,1]上单调递减，最小值为h(1)＝5－2t，

所以；

（3）由已知：f(x)>2x＋m对x∈恒成立，

∴m<x2－5x＋4对x∈恒成立．

∴m<(x2－5x＋4)min (x∈)．

∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈上的最小值为，

∴m<.