Question

16．已知二次函数y=f（x）的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=f（x）在x=-$\frac{1}{2}$处取得极小值c-$\frac{1}{4}$（c＞0）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数的形式及函数的最小值，设出f（x），求出f（x）的导函数，根据导函数是函数的斜率，列出方程，求出a，m的值；
（2）求出g（x）的表达式，通过讨论c的范围得到g（x）的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）依题可设f（x）=a（x+$\frac{1}{2}$）²+m（a≠0），
则f′（x）=2ax+a；
又f′（x）的图象与直线y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∵y=f（x）在x=-$\frac{1}{2}$处取得最小值为c-$\frac{1}{4}$．
∴m=c-$\frac{1}{4}$
∴f（x）=x²+x+c；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{c}{x}$+1，g′（x）=1-$\frac{c}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-c}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{c}$或x＜-$\sqrt{c}$（舍），
∴g（x）在（0，$\sqrt{c}$）递减，在（$\sqrt{c}$，+∞）递增，
0＜c＜1时，g（x）在[1，2]递增，
∴g（x）_max=g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
1≤c＜2时，g（x）在[1，$\sqrt{c}$）递减，在（$\sqrt{c}$，2]递增，
而g（1）=2+c＜g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
∴g（x）_max=g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
2≤c＜4时，g（x）在[1，$\sqrt{c}$）递减，在（$\sqrt{c}$，2]递增，
而g（1）=2+c＞g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
∴g（x）_max=g（1）=c+2，
c≥4时，g（x）在[1，2]递减，
∴g（x）_max=g（1）=c+2，
综上，0＜c＜2时，g（x）_max=g（2）=$\frac{c}{2}$+3，
c≥2时，g（x）_max=g（1）=c+2．

点评 本题主要考查二次函数的顶点式、导数的几何意义，主要考查基础知识的综合运用和学生的计算能力．